« »

เฉลยปริศนาถนนเชื่อมเมือง

by nuch

จากปริศนาถนนเชื่อมเมือง

คำตอบคือ 273.205 km

ส่วนรูปแบบถนนดูตามรูปประกอบค่ะ

xD

คนที่ตอบถูกคนแรกเลยคือ simpleblob ซึ่งมีภาพพร้อมคำอธิบายไว้ที่ http://bit.ly/ayYPT0 :D

โจทย์ข้อนี้มองเผินๆ เหมือนกับว่า ถ้าลากเส้นทแยงมุมน่าจะได้ระยะทางที่สั้นที่สุด (ส่วนใหญ่ก็ตอบแบบนี้กัน ถ้าไม่เห็นคำใบ้นะ)

ส่วนวิธีคิดของเรานั้นเริ่มจากหารูปแบบที่ไม่ใช่เส้นทแยงมุมตัดกันเป็น X แต่ได้ระยะทางที่สั้นกว่า  ซึงเผอิญว่าเคยทดลองอะไรคล้ายๆ แบบนี้ตอนที่ห่อของขวัญ หรือห่อพัสดุให้ที่บ้าน  เวลาพันริบบิ้น หรือพันเชือก เรามักจะพันในลักษณะแบ่งครึ่งแนวตั้งกับแนวนอน แต่ว่า ต่อให้พันแน่นยังไงเราก็รู้สึกว่า เชือกมันยังหลวม ก็เลยลองเอาเทปพันตรงจุดตัดของแนวนอนกับแนวตั้งพันไปเรื่อยๆ ก็รู้สึกว่าเชือกแน่นขึ้นมาก เลยทำให้เดาว่ารูปแบบที่น่าจะได้สั้นกว่าเส้นทแยงมุมน่าจะเป็นตามภาพเฉลยนี่แหละ

ทีนี้พอได้รูปแบบ ก็ต้องหาทางคิดระยะที่สั้นที่สุด ก็ใช้ทฤษฎีปิธากอรัสในการสร้างสมการ
โดยกำหนดให้ x คือระยะทางตรงกลางที่เป็นเสมือนระยะที่เราเอาเทปพันจุดตัดเชือก (ในภาพเฉลย x = 42 km) และให้ y คือระยะทางทั้งหมดของถนน

เราหาขนาดของเส้นเฉียงได้ด้วยทฤษฎีปิธากอรัส  นั่นคือ ขนาดของเส้นเฉียงยกกำลัง2 = ((100-x)/2)^2 + 50^2
เส้นเฉียงมีทั้งหมด 4 เส้น

จะได้ว่า

ดูจากสมการก็เดาได้ว่าจะได้รูปพาราโบลา ไม่ก็ไฮเปอร์โบลา ซึ่งจะมีค่าจุดยอดโค้ง ในทีนี้น่าจะเป็นจุดต่ำสุดของกราฟ ซึ่งจะให้ระยะทางรวมที่สั้นที่สุด เราก็ต้องหาให้ได้ว่า ณ y ที่มีค่าน้อยที่สุด x มีค่าเท่าไร

เนื่องจากจำสูตรการหาจุดยอดของพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลาไม่ได้ อีกทั้งทำ Calculus ไม่เป็น ก็เลยต้องพึ่ง Wolframalpha ในการหาคำตอบ ก็จะได้ว่า

ค่า y ที่น้อยที่สุดคือประมาณ 273.205 จะเกิดที่ค่า x เท่ากับโดยประมาณ 42.265 ก็ลองปัดตัวเลขให้สวยๆ ให้ x = 42 ค่า y ก็ไม่เปลี่ยนแปลงใดๆ ที่ทศนิยม 3 ตำแหน่ง

Q.E.D.

:p

กรุณา Login ด้วยค่ะ
Please Login for reading the hidden part of this content.

For register, please contact the Blog owner.

One Response to “เฉลยปริศนาถนนเชื่อมเมือง”

  1. neizod Says:

    ถ้าตั้งสมการโดยใช้ตรีโกณฯ เข้าช่วย จะได้ว่า
    L = k(2sec(t) + 1 – tan(t)) —> (1)
    เมื่อ L คือระยะทางทั้งหมด, k คือระยะห่างระหว่างเมือง,
    และ t คือมุม (ไม่ต้องสนใจมันเลยก็ได้ ไม่มีผลต่อคำตอบเลย)

    ดิฟสมการ (1) ครั้งนึงแล้วจัดให้สมการเท่ากับ 0 (เพื่อหาค่าสุดขีด) จะได้
    0 = sec2(t)(2sin(t) – 1) —> (2)
    เนื่องจาก sec2(t) ไม่เท่ากับ 0 อยู่แล้ว ดังนั้นพิจรณา 0 = 2sin(t)
    จะได้ว่า t = 30 องศา —> (3)

    นำ (3) ที่ได้กลับไปแทนค่าใน (1) จะได้ออกมาว่า
    L = k(1 + sqrt(3))
    ก็แทนค่า k ที่ต้องการลงไป (ในข้อนี้ k = 100 กิโลเมตร)
    ก็จะได้คำตอบออกมา คือ 273.2051 กิโลเมตรครับ

Leave a Reply

:D :-) :( :o 8O :? 8) :lol: :x :P :oops: :cry: :evil: :twisted: :roll: :wink: :!: :?: :idea: :arrow: :| :mrgreen: